선형(linear) vs 비선형(Nonlinear), 헷갈리지 않게 구분하는 초간단 판단법

 

1. 글을 시작하며

수학, 물리, 공학 문제를 풀다 보면 ‘이 식이 선형인지 비선형인지’를 구분해야 하는 순간이 꼭 찾아옵니다.
많은 분들이 그래프가 직선이면 선형, 곡선이면 비선형이라고 단순하게 생각하지만, 이 방법만으로는 정확한 판단이 어렵습니다.

실제로는 중첩의 원리, 수학적 형태, 그리고 변수 관계를 함께 살펴야 합니다.
오늘은 초보자도 바로 적용할 수 있는 선형·비선형 구분 기준과 예시를 정리해 드리겠습니다.

2. 선형과 비선형의 기본 개념

• 선형(Linear): 입력이 2배면 출력도 2배, 입력이 합쳐지면 출력도 합이 되는 관계.
• 비선형(Nonlinear): 이런 단순 비례·합 관계를 따르지 않는 경우.

3. 구분 기준

(1) 중첩의 원리(Superposition Principle)

선형이 되기 위해서는 두 가지 조건이 모두 성립해야 합니다.

가법성(Additivity)

$x_1$ → $y_1$, $x_2$ → $y_2$라면,
$x_1+x_2$ → $y_1+y_2$가 되어야 함. 

동차성(Homogeneity)

입력 $x$를 $k$배 하면 출력도 $k$배 되어야 함.

(2) 수학적 형태

• 선형: 변수(미지수)가 1차로만 나타남.

  • 예) $y = 2x + 3$, $y = 5x_1 - 2x_2$

• 비선형: 제곱, 변수 곱, 지수·로그·삼각함수 포함.

  • 예) $y=x^{\mathrm{2, }}$$y = e^x$, $y = x_1 x_2$

(3) 그래프 모양

• 선형: 직선(2차원) 또는 평면(다변수일 경우)

• 비선형: 곡선, 굴곡, 변곡점이 존재

(4) 미분방정식에서의 구분

• 선형 미분방정식: 종속변수와 그 미분항이 1차로만 나타남

  • 예) $y' + 3y = 0$

• 비선형 미분방정식: 변수 곱, 제곱, 비선형 함수 포함

• 예) $y' + y^2 = 0$

4. 빠른 판단 체크리스트

• 변수 차수가 1인지 확인
• 변수끼리 곱하거나 나눈 항이 있는지 확인
• 제곱, 제곱근, 지수, 로그, 삼각함수 여부 체크
• 중첩 원리가 성립하는지 테스트

5. 예시 표

식	선형/비선형	이유
$y = 2x + 5$	선형	변수 1차, 비례관계
$y = x^2$	비선형	제곱 포함
$y = e^x$	비선형	지수함수 포함
$y = 3x_1 - 4x_2$	선형	변수 1차, 가법·동차성 O
$y' + 2y = 0$	선형	미분항도 1차
$y' + y^2 = 0$	비선형	$y^2$ 항 존재

6. 글을 마치며

선형과 비선형의 차이는 결국 입력과 출력이 비례하고 합이 성립하는가로 귀결됩니다. 변수 차수, 변수 간 곱, 지수·로그·삼각함수 여부를 확인하면 대부분 쉽게 분류할 수 있습니다.

특히 문제를 풀 때는 그래프 모양보다 중첩 원리와 수학적 구조를 먼저 확인하는 습관을 들이면, 복잡한 식이나 방정식도 빠르게 판별할 수 있습니다. 

이상이로 글을 마치도록 하겠습니다. 

감사합니다.